Линейная алгебра Примеры

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 7 & 5 & 0 4 & 5 & 8 0 & - 1 & 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 7 & 5 & 0 \\ 4 & 5 & 8 \\ 0 & - 1 & 5 \end{array}]$

Этап 1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

1

$1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Этап 1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 8 - 1 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} |$

Этап 1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

7 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 8 - 1 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$7 | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} |$

Этап 1.5

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} |$

Этап 1.6

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

- 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} |$

Этап 1.7

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 0 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.8

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 0 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.9

Add the terms together.

7 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 8 - 1 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 0 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$7 | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

7 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 8 - 1 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 0 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$7 | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Этап 2

Умножим

0

$0$ на

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 0 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$ .

7 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 8 - 1 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$7 | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Этап 3

Найдем значение

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 8 - 1 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

7 (5 \cdot 5 - (- 1 \cdot 8)) - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$7 (5 \cdot 5 - (- 1 \cdot 8)) - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Этап 3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим

5

$5$ на

5

$5$ .

7 (25 - (- 1 \cdot 8)) - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$7 (25 - (- 1 \cdot 8)) - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Этап 3.2.1.2

Умножим

- (- 1 \cdot 8)

$- (- 1 \cdot 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

8

$8$ .

7 (25 - - 8) - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$7 (25 - - 8) - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 8

$- 8$ .

7 (25 + 8) - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$7 (25 + 8) - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

7 (25 + 8) - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$7 (25 + 8) - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Этап 3.2.2

Добавим

$25$ и

$8$ .

$7 \cdot 33 - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Этап 4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$7 \cdot 33 - 5 (4 \cdot 5 + 0 \cdot 8) + 0$

Этап 4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим

$4$ на

$5$ .

$7 \cdot 33 - 5 (20 + 0 \cdot 8) + 0$

Этап 4.2.1.2

Умножим

$0$ на

$8$ .

$7 \cdot 33 - 5 (20 + 0) + 0$

Этап 4.2.2

Добавим

$20$ и

$0$ .

$7 \cdot 33 - 5 \cdot 20 + 0$

Этап 5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим

$7$ на

$33$ .

$231 - 5 \cdot 20 + 0$

Этап 5.1.2

Умножим

$- 5$ на

$20$ .

$231 - 100 + 0$

Этап 5.2

Вычтем

$100$ из

$231$ .

$131 + 0$

Этап 5.3

Добавим

$131$ и

$0$ .

$131$